DE LA ARITMETICA AL ALGEBRA
El lenguaje corriente se estructura teniendo en cuenta las oraciones formadas por sujeto y verbos en el predicado que indican acciones o relaciones.
Existen reglas como en los elementos para combinar los elementos aritméticos por ejemplo:
• Jerarquía de las operaciones: la multiplicación se realiza antes que la suma y resta.
• Uso de paréntesis: prioridad de solución en una expresión aritmética.
Resolución de ecuaciones
En una ecuación simple como: x + 3 = 8, el análisis será diferente de acuerdo con el estado de pensamiento.
Algebra abstracta
Es el lenguaje propio del algebra en que se trabaja intensamente con letras y las operaciones, con símbolos del tipo: a*b=b*a
No es conveniente abordarla en la enseñanza secundaria, por lo tanto no será desarrollada en este análisis.
Enseñanza – aprendizaje del algebra
Existen dificultades que pueden agruparse en distintas áreas:
1. Dificultades debidas a la naturaleza del tema algebraico, dentro del contexto matemática.
2. Dificultades que surgen de los procesos cognitivos de los alumnos y de la estructura y organización de sus experiencias.
3. Dificultades atribuibles a la naturaleza del currículo y a los métodos de enseñanza usados.
4. Dificultades debidas a las actitudes afectivas y no racionales hacia el algebra.
A veces los problemas relacionados con el algebra, se tratan de resolver poniendo el énfasis en una dirección única, lo que provoca distintas discontinuidades en el proceso de enseñanza – aprendizaje.
¿Qué se hace primero?
a) Si utilizas la calculadora para hacer:
5+3*2
Y realizas la operación tal cual ¿Qué obtienes?
Si realizas primero 3*2 y luego sumas 5.
b) Utiliza paréntesis para obtener 25 en una expresión de este tipo:
5+3*5+5
Juego de números
Utilizando cuatro 4 y las operaciones que quieras intenta obtener los números del 0 al 10
Ejemplo: 4-4+4-4=0; 0=44-44;
Estas son actividades que se pretende que el alumno practique la utilización correcta del lenguaje aritmético escrito, haciendo uso de las jerarquías de operaciones y paréntesis.
A sumar
Tratar de complementar los números que faltan en los espacios vacios.
Esto sirve para practicar sumas y su inversa.
Enigma
Encuentra 2 números sabiendo que:
• Los 2 números son menores que 40 y mayores que 6
• Su producto es 192
• La suma es el doble de 15 mas 2
• La diferencia delos 2 números es múltiplo de 2
• Ayuda: realiza una tabla con pares de números
El resultado es 8 y 24. Permite jugar con números cambiando uno y ver como varia el siguiente y luego decidir cual es el par que cumple con todas las condiciones. Por ejemplo:
8+24 =32
32=2*15+2
24-8=16, que es múltiplo de 2
Algunas ideas, actividades y problemas
Materiales: calendario. Calculadora con las 4 operaciones básicas.
• El día 1 de marzo de 1999 es lunes. ¿podrías complementar el calendario del mes?
• Selecciona en tu calendario un cuadrado cualquiera, que tenga cuatro números.
• Suma las diagonales ¿Qué observas?
• Prueba con otros cuadrados de cuatro números, ¿pasa siempre lo mismo?
En esta actividad se pretende que observen regularidades entre lo números y que obtengan generalizaciones.
En la primera pregunta es necesario que observen que todas las filas tienen siete números consecutivos, que si las filas tuvieran otro tamaño la diferencia seria ese valor constante.
Generalización con propiedades numéricas
Materiales: calculadoras elementales de 4 operaciones.
Sumas consecutivas
Observa las siguientes sumas y contesta:
0+1=1
1+2=3
2+3=5
3+4=7
4+5=9
¿Qué tienen un común?
¿Ocurre siempre lo mismo?
Escribe la suma que estaría en el lugar 10, en el lugar 20
¿Puedes explicar por que ocurre?
¿Puedes escribir con letras los que dices?
• El objetivo de esta actividad es que se den cuenta de las distintas relaciones que aparecen entre los números, por ejemplo: que tal sumar un par y otro impar da siempre impar.
• Se pretende que se acostumbren a pensar en generalizaciones y que escriban con palabras lo que observan como regularidades.
• Si las umas estab ordenadas y sumamos dos números consecutivos, se obtienen todos los números impares ordenados.
Generalización de calculadoras
Factor constante
• Prueba en tu calculadora la siguiente secuencia de tecla:
3 ++ = ¿Qué numero aparece?
• Sin borrarm aprieta otra vez el = ¿Qué numero hay ahora?
• Borra y realiza lo mismo con:
4 ++ = ¿Qué numero aparece?
• Otra vez el = ¿Qué numero aparece?
sábado, 10 de julio de 2010
viernes, 9 de julio de 2010
Iniciación al estudio didactico del Algebra (texto I)
Este escrito se nutre de una experiencia de trabajo de más de diez años en diferentes ambientes:
• Los inicios fundacionales de una investigación sobre el desarrollo del algebra escolar.
• El trabajo de la ciudad de buenos aires
• Desafíos para la formación de futuros profesores
• Las voces de tantos profesores, con los que he trabajado en muchísimos talleres y cursos referidos a estos temas
En respuesta a estas dificultades reiteradas, se suele proponer de una manera más o menos explícita una simplificación de los objetos y una algoritmizacion de las prácticas.
Introducción
Este capítulo habla acerca de una reflexión acerca del papel del análisis histórico epistemológico en el estudio didáctico de un determinado campo
Desde el punto de vista de un profesor, la comprensión de otros modos de trabajo puede servir de inspiración ara planear un proyecto de enseñanza que recupere para el aula viejos sentidos de los objetos.
Las condiciones en la historia que hicieron posible el planteo de problemas y de preguntas, son de alguna manera irreproducibles escolarmente su se piensa las construcción de conocimientos como una construcción de conocimientos. Esto nos lleva a ser cautelosos en el aprovechamiento de los ejemplos históricos en la enseñanza.
Iniciando con la geometría…
Se identifican tres regiones en la tradición escolar: aritmética, algebra y geometría.
Para comprender mejor las filiaciones y las rupturas entre el algebra y las otras regiones, vamos a comenzar por explorar estas relaciones en diferentes momentos de la historia de la matemática.
Las tablillas de la Mesopotamia y sus ecuaciones cuadráticas, el trabajo numérico - geométrico de Pitágoras y la geometría sintética de Euclides puestos en contraste con practicas actuales algebraicas.
Se realizará el estudio en torno a 6 paradas.
Parada 1 antigua Babilonia:
Mesopotamia son los autores de los textos mas antiguos de las matemáticas. Son tablillas de arcilla talladas son signos, datan de 3300 a.c.
Cuentan con gran variedad de problemas aritméticos y enunciados en lenguaje colonial. Cada problema esta resuelto para valores numéricos específicos de los datos y los resultados también son números particulares.
Ejemplo de una tablilla del año 1600 a.c.:
he sumado la superficie y mi lado de cuadrado: 45. Pondrá 1, la wasitum. Fraccionaras la mitad de 1 (:30). Multiplicaras 30 y 30 (:15). Agregaras 15 a 45: 1.1 es su raíz cuadrada. Restaras el 30 que has multiplicado de 1 (:30). 30 es su lado del cuadrado.
Además de nuestra traducción del algoritmo a la formula general que conocemos, podremos pensar en una apoyatura geométrica ocultada en la presentación algorítmica.
Multiplicación como operación geométrica:
Nos interesa reflexionar sobre la posibilidad de aprovecha didácticamente el siguiente hecho, presente en la interpretación del procedimiento que hemos mostrado: la consideración geométrica del producto de dos números como el área del rectángulo que queda determinado por esos lados.
Esta consideración geométrica de la operación “producto” atraviesa la matemática desde la antigüedad hasta Descartes y lleva a considerar solamente sumas que refieran a objetos de la misma dimensión: no puedo sumar un cuadrado con un segmento, pero si un cuadrado con un rectángulo.
Como veremos mas adelante, este es un tratamiento muy diferente del que se encuentra en el trabajo matemático de Euclides en los Elementos: las áreas y longitudes son consideradas magnitudes y no números por que no se trabajan con unidades.
¿Algebra o no?
Se habla de algebra babilónica (algebra sin símbolos), ya que identifican allí los típicos problemas de ecuaciones con valores numéricos para los datos y números que hay que hallar. Decidir si hay o no algebra cuando aun no hay lenguaje simbólico recude el problema a una cuestión de nombre de las cosas y revela la arbitrariedad de cualquier posición que se tome. Examinaremos una vez mas el tratamiento que hacen los babilónicos: que es numérico y las interpretaciones mas modernas.
Que nos permite diferencias la algebra de lo geométrico:
Será la interacción de un problema con el conjunto de herramientas de quien lo enfrenta y la disponibilidad que tiene de las mismas lo que haría factible un tipo de solución mas geométrica o mas algebraica.
En ese sentido podríamos decir que los babilónicos resolvían problemas que hoy ubicamos en el dominio del algebra y lo hacían con métodos geométricos de cortar y pegar y complementar.
Universo griego
“En menos de cuatro siglos de Thales de Mileto a Euclides de Alejandría, lo hayan querido o no los pensadores griegos, rivales de ciudades y de escuelas, en economía y religión, siempre obstinados en contradecir al otro, hijos de la tierra contra amigos de las formas…..” Serre (1989)
Tres zonas de este universo:
1. Grupo de Pitágoras.- nos introduce en un trabajo bien diferente del que acabamos de transitar.
2. Euclides y su desarrollo sintético de la geometría.
3. Diofanto y en su conceptualización del arithmo.
Parada 2 la numerosidad de los pitagóricos
Pitágoras (580-500 a.c.) contemporáneo de Buda, de Confucio y de Lao-Tse.
Los desarrollos de esta escuela se encuentran en el origen de la conformación de la aritmética clásica: los números son los naturales, concebidos como colección de unidades. El 1 no es exactamente un numero, es la “monade” , la unidad de base de la colección que representa cualquier numero.
Con las configuraciones geometrías los números parecen triangulares, cuadrados, rectangulares, pentagonales, etc. Ejemplo: 3, 6 y 9
Cada configuración geométrica puede ser estudiada a partir de un análisis teniendo en cuenta la geometría. Se obtienen propiedades que resultan comunes a todos estos números.
Por ejemplo, números cuadrados serán aquellos cuyas unidades puedan agruparse de manera de obtener una configuración cuadrada.
Lo generado del ejemplo nos permite afirmas que si a un numero cuadrado le sumamos el doble del lado mas 1, obtenemos el siguiente numero cuadrado.
Considerando sucesivamente los números impares hasta el cuarto, se obtiene el cuadrado de lado cuadrado:
Cualquier numero cuadrado n puede pensarse como la suma de todos los números impares desde el 1 hasta el n-esimo número impar. Esto puede expresar como la formula: 1+3+4+…+(2n + 1) = (n + 1 )2 o mas formalmente:
La sumatoria de 2i + 1 = (n+1)2
La pregunta que nos hacemos en el plano didáctico es si la sola destreza algebraica y el dominio de las leyes de transformación nos hubieran permitido producir estas formulas, mas alla de validarlas.
Parada 3 Euclides y la geometría de las magnitudes
Elementos: se trata de un compendio del conocimiento matemático de la antigüedad. Un trabajo admirable de ingeniería lógica donde cada propiedad nueva se valida apoyándose en los axiomas o en una o varias propiedades anteriormente demostradas.
Existen trece libros, cada libro está formado por una secuencia de proposiciones con enunciado y demostración. Los enunciados son de carácter general y están escritos en lenguaje colonial. Que corresponden a (puntos, lados, ángulos, figuras, etc.)
El tratamiento de leyes generales
Entre los enunciados generales del primer tipo encontramos las propiedades de las operaciones que hoy definen las estructuras de los conjuntos numéricos, aunque expresadas en términos de magnitudes geométricas: la propiedad distributiva, por ejemplo, aparece como igualdad entre la adición de las áreas de dos rectángulos con un lado congruente, y el área de un tercer rectángulo con uno de sus lados igual a este lado común y el otro formado por la suma de los dos lados no comunes.
La demostración de este teorema es sencilla: basta con justificar que el rectángulo 1 es igual al 1´y que el 2 es igual al 2´lo cual permite concluir que el rectángulo 1+2 es igual a la diferencia de los dos cuadrados.
• Los inicios fundacionales de una investigación sobre el desarrollo del algebra escolar.
• El trabajo de la ciudad de buenos aires
• Desafíos para la formación de futuros profesores
• Las voces de tantos profesores, con los que he trabajado en muchísimos talleres y cursos referidos a estos temas
En respuesta a estas dificultades reiteradas, se suele proponer de una manera más o menos explícita una simplificación de los objetos y una algoritmizacion de las prácticas.
Introducción
Este capítulo habla acerca de una reflexión acerca del papel del análisis histórico epistemológico en el estudio didáctico de un determinado campo
Desde el punto de vista de un profesor, la comprensión de otros modos de trabajo puede servir de inspiración ara planear un proyecto de enseñanza que recupere para el aula viejos sentidos de los objetos.
Las condiciones en la historia que hicieron posible el planteo de problemas y de preguntas, son de alguna manera irreproducibles escolarmente su se piensa las construcción de conocimientos como una construcción de conocimientos. Esto nos lleva a ser cautelosos en el aprovechamiento de los ejemplos históricos en la enseñanza.
Iniciando con la geometría…
Se identifican tres regiones en la tradición escolar: aritmética, algebra y geometría.
Para comprender mejor las filiaciones y las rupturas entre el algebra y las otras regiones, vamos a comenzar por explorar estas relaciones en diferentes momentos de la historia de la matemática.
Las tablillas de la Mesopotamia y sus ecuaciones cuadráticas, el trabajo numérico - geométrico de Pitágoras y la geometría sintética de Euclides puestos en contraste con practicas actuales algebraicas.
Se realizará el estudio en torno a 6 paradas.
Parada 1 antigua Babilonia:
Mesopotamia son los autores de los textos mas antiguos de las matemáticas. Son tablillas de arcilla talladas son signos, datan de 3300 a.c.
Cuentan con gran variedad de problemas aritméticos y enunciados en lenguaje colonial. Cada problema esta resuelto para valores numéricos específicos de los datos y los resultados también son números particulares.
Ejemplo de una tablilla del año 1600 a.c.:
he sumado la superficie y mi lado de cuadrado: 45. Pondrá 1, la wasitum. Fraccionaras la mitad de 1 (:30). Multiplicaras 30 y 30 (:15). Agregaras 15 a 45: 1.1 es su raíz cuadrada. Restaras el 30 que has multiplicado de 1 (:30). 30 es su lado del cuadrado.
Además de nuestra traducción del algoritmo a la formula general que conocemos, podremos pensar en una apoyatura geométrica ocultada en la presentación algorítmica.
Multiplicación como operación geométrica:
Nos interesa reflexionar sobre la posibilidad de aprovecha didácticamente el siguiente hecho, presente en la interpretación del procedimiento que hemos mostrado: la consideración geométrica del producto de dos números como el área del rectángulo que queda determinado por esos lados.
Esta consideración geométrica de la operación “producto” atraviesa la matemática desde la antigüedad hasta Descartes y lleva a considerar solamente sumas que refieran a objetos de la misma dimensión: no puedo sumar un cuadrado con un segmento, pero si un cuadrado con un rectángulo.
Como veremos mas adelante, este es un tratamiento muy diferente del que se encuentra en el trabajo matemático de Euclides en los Elementos: las áreas y longitudes son consideradas magnitudes y no números por que no se trabajan con unidades.
¿Algebra o no?
Se habla de algebra babilónica (algebra sin símbolos), ya que identifican allí los típicos problemas de ecuaciones con valores numéricos para los datos y números que hay que hallar. Decidir si hay o no algebra cuando aun no hay lenguaje simbólico recude el problema a una cuestión de nombre de las cosas y revela la arbitrariedad de cualquier posición que se tome. Examinaremos una vez mas el tratamiento que hacen los babilónicos: que es numérico y las interpretaciones mas modernas.
Que nos permite diferencias la algebra de lo geométrico:
Será la interacción de un problema con el conjunto de herramientas de quien lo enfrenta y la disponibilidad que tiene de las mismas lo que haría factible un tipo de solución mas geométrica o mas algebraica.
En ese sentido podríamos decir que los babilónicos resolvían problemas que hoy ubicamos en el dominio del algebra y lo hacían con métodos geométricos de cortar y pegar y complementar.
Universo griego
“En menos de cuatro siglos de Thales de Mileto a Euclides de Alejandría, lo hayan querido o no los pensadores griegos, rivales de ciudades y de escuelas, en economía y religión, siempre obstinados en contradecir al otro, hijos de la tierra contra amigos de las formas…..” Serre (1989)
Tres zonas de este universo:
1. Grupo de Pitágoras.- nos introduce en un trabajo bien diferente del que acabamos de transitar.
2. Euclides y su desarrollo sintético de la geometría.
3. Diofanto y en su conceptualización del arithmo.
Parada 2 la numerosidad de los pitagóricos
Pitágoras (580-500 a.c.) contemporáneo de Buda, de Confucio y de Lao-Tse.
Los desarrollos de esta escuela se encuentran en el origen de la conformación de la aritmética clásica: los números son los naturales, concebidos como colección de unidades. El 1 no es exactamente un numero, es la “monade” , la unidad de base de la colección que representa cualquier numero.
Con las configuraciones geometrías los números parecen triangulares, cuadrados, rectangulares, pentagonales, etc. Ejemplo: 3, 6 y 9
Cada configuración geométrica puede ser estudiada a partir de un análisis teniendo en cuenta la geometría. Se obtienen propiedades que resultan comunes a todos estos números.
Por ejemplo, números cuadrados serán aquellos cuyas unidades puedan agruparse de manera de obtener una configuración cuadrada.
Lo generado del ejemplo nos permite afirmas que si a un numero cuadrado le sumamos el doble del lado mas 1, obtenemos el siguiente numero cuadrado.
Considerando sucesivamente los números impares hasta el cuarto, se obtiene el cuadrado de lado cuadrado:
Cualquier numero cuadrado n puede pensarse como la suma de todos los números impares desde el 1 hasta el n-esimo número impar. Esto puede expresar como la formula: 1+3+4+…+(2n + 1) = (n + 1 )2 o mas formalmente:
La sumatoria de 2i + 1 = (n+1)2
La pregunta que nos hacemos en el plano didáctico es si la sola destreza algebraica y el dominio de las leyes de transformación nos hubieran permitido producir estas formulas, mas alla de validarlas.
Parada 3 Euclides y la geometría de las magnitudes
Elementos: se trata de un compendio del conocimiento matemático de la antigüedad. Un trabajo admirable de ingeniería lógica donde cada propiedad nueva se valida apoyándose en los axiomas o en una o varias propiedades anteriormente demostradas.
Existen trece libros, cada libro está formado por una secuencia de proposiciones con enunciado y demostración. Los enunciados son de carácter general y están escritos en lenguaje colonial. Que corresponden a (puntos, lados, ángulos, figuras, etc.)
El tratamiento de leyes generales
Entre los enunciados generales del primer tipo encontramos las propiedades de las operaciones que hoy definen las estructuras de los conjuntos numéricos, aunque expresadas en términos de magnitudes geométricas: la propiedad distributiva, por ejemplo, aparece como igualdad entre la adición de las áreas de dos rectángulos con un lado congruente, y el área de un tercer rectángulo con uno de sus lados igual a este lado común y el otro formado por la suma de los dos lados no comunes.
La demostración de este teorema es sencilla: basta con justificar que el rectángulo 1 es igual al 1´y que el 2 es igual al 2´lo cual permite concluir que el rectángulo 1+2 es igual a la diferencia de los dos cuadrados.
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